VARGAS SORIA JOSÉ MIGUEL
Libros
Título:
Errores y Dificultades en Matemátia
Editorial:
Universidad Nacional de Villa María
Referencias:
Lugar: Villa María, Córdoba, Argentina.; Año: 2006 p. 198
ISSN:
987-98292-9-8
Resumen:
Introducción: Sabemos que los errores forman parte de las producciones de la mayoría de los alumnos, y constituyen, generalmente, un elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en todos los niveles del sistema educativo. Asimismo, si tenemos en cuenta que el correcto aprendizaje de la Matemática es un objetivo común en los procesos de enseñanza de la misma es claro que las respuestas incorrectas a las cuestiones que se les plantean a los estudiantes serán consideradas ? por parte de quienes están a cargo de su instrucción ? como señales de serias deficiencias, e incluso fracaso en el logro de los objetivos propuestos. Si aceptamos que el conocimiento matemático es construido ? al menos en parte ? a través de un proceso de abstracción reflexiva, donde los errores son una posibilidad y una realidad permanente en el conocimiento científico, resulta muchas veces necesaria la inclusión de un diagnóstico, detección, corrección y superación de los mismos mediante actividades que promuevan el ejercicio de la crítica sobre las propias producciones. Por otra parte, es notable observar que casi todas las recomendaciones metodológicas acerca de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática coinciden en la necesidad de señalar que se identifiquen los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinando sus causas y organizando la enseñanza teniendo en cuenta esa información, donde el profesor tiene que ser sensible a las ideas previas de los estudiantes y debe valerse de estrategias adecuadas para lograr el progreso en el aprendizaje. A su vez, no podemos olvidar que la detección de errores y preconceptos como parte de las ideas previas del alumno es un primer paso para la aplicación de un modelo constructivista de enseñanza de la Matemática, lo que permite identificar las áreas que son más susceptibles de errores graves y contribuye positivamente en el proceso de aprendizaje y construcción de conocimientos matemáticos en los alumnos. Si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inade­cuado en el alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de conoci­mientos. Es de destacar que los errores no aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente. También se debe tener en cuenta que las oportunidades de los estudiantes para aprender Matemática dependen del entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan, dependiendo lo que aprenden de cómo se implican en las actividades matemáticas, lo que marca, a su vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia. Definición del problema Hemos señalado que una actividad importante que deberíamos tener como profesores de Matemática es la identificación de los errores típicos que cometen los estudiantes, tratando, al mismo tiempo, de llevar acciones de corrección bajo un modelo constructivista de enseñanza. No obstante, para esta misión se hace imprescindible encontrar herramientas metodológicas que permitan identificar los errores, los cuales no sólo tienen lugar en una instancia de diagnóstico inicial, sino durante todo el proceso de enseñanza y aprendizaje que llevemos a cabo. Analizar las dificultades del aprendizaje de la Matemática en términos de la prevención y corrección, supone combinar estrategias generales y específicas a largo plazo con estrategias particulares e inmediatas. El análisis de los errores sirve para ayudar al docente a organizar estrategias para un mejor aprendizaje insistiendo en aquellos aspectos que generan más dificultades, y contribuye a una mejor preparación de instancias de corrección. Es importante aclarar que consideramos que los errores en Matemática pueden ser superados y aceptados, no como algo que no tendría que haber aparecido, sino como una instancia cuya aparición es útil e interesante, ya que permite la adquisición de un nuevo y mejor conocimiento. De todos modos, numerosos trabajos de Educación Matemática como Rico (1995); Esteley y Villarreal (1996); Gamboa (1997); Villagrán y Otros (1998); Caputo y Soto (2002); Hitt (2003); Di Blasi Regner y Otros (2003) coinciden en señalar errores que se reiteran en los distintos años y ciclos que conforman el sistema educativo, los que resultan ser básicamente los mismos para cada contenido de la currrrícula. El desafío estaría, por lo tanto, en generar estrategias que permitan ayudar a salvar estos errores reiterados en el tiempo y que suelen ser identificados por la mayoría de los docentes de Matemática que desarrollan sus clases en niveles que van desde la educación primaria hasta la universitaria. Si bien la Matemática cuenta con un espacio curricular obligatorio en el nivel primario y secundario del sistema educativo argentino, sólo está presente en algunas carreras del Nivel Terciario y/o Universitario, siendo los alumnos que egresan del Nivel Medio una fuente importante de información sobre la formación matemática recibida en no menos de 13 años de enseñanza formal. Esta situación nos lleva a formular la primera pregunta directriz de la investigación del siguiente modo:  ¿Qué errores detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de sus alumnos durante la formación de Nivel Medio? A su vez, resulta frecuente escuchar a los profesores universitarios de Matemática emitir juicios acerca de la formación matemática recibida por sus alumnos en ciclos anteriores y sobre todas las deficiencias que presentan en los aprendizajes logrados. Basándonos en esta apreciación, formulamos nuestra segunda pregunta directriz de investigación: ¿Cuáles son los errores, que han sido señalados por los Profesores de Matemática, que aún persisten en el aprendizaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Universidad? Por otro lado, investigadores como Ashlock, Reisman, Robitaille, Bell, Ginsburg, Erlwanger y otros ? citados en Rico (1995, p.80) ? consideran que los errores en Matemática no tienen un carácter accidental, sino que surgen por las estrategias y reglas personales empleadas en la resolución de problemas, y devienen de experiencias particulares e interpretaciones realizadas con base en los conocimientos matemáticos iniciales. Así, surge como tercera pregunta directriz de la investigación: ¿Cuáles son las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos ciertos errores en el aprendizaje logrado en Matemática? Sabemos que en muchas ocasiones la terminología utilizada en el ámbito educativo puede llegar a resultar confusa, ya que un mismo término es usado con sentidos diversos, y a veces, distintos términos se refieren al mismo o muy similar concepto. Esta razón nos lleva a precisar y clarificar qué entendemos en esta investigación por errores en el aprendizaje de la Matemática, puesto que la expresión ha de utilizarse a lo largo del trabajo y haremos alusión a ella en reiteradas ocasiones. Asumimos la definición dada por Godino, Batanero y Font (2003) cuando expresan: ?Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar?. (p. 69) Contexto de la investigación Para efectuar un reconocimiento y análisis de los errores que cometen los alumnos en el aprendizaje de la Matemática al egresar del Nivel Medio de enseñanza, hemos considerado como contexto particular, los estudiantes que ingresan a la Universidad Nacional de Villa María, fundamentalmente porque quienes llevamos a cabo la investigación somos docentes de esta casa de altos estudios ?lo que permite acceder con mayor libertad a la información que requiere el trabajo? y por ser responsables del ?Módulo Matemática? del Curso de Ingreso a la Universidad. En lo que respecta a la Institución, la Universidad Nacional de Villa María comienzó a gestarse hace poco más de una década. El Rector organizador fue designado en septiembre de 1995 y el Proyecto Institucional evaluado con dictamen favorable por parte de la CONEAU (Comisión Nacional de Evaluación y Acreditación Universitaria) durante el año 1996. La puesta en marcha de las actividades académicas se produjo en Abril de 1997, tras la aprobación del Estatuto General y del Proyecto Institucional por parte del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación (hoy Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología). El entorno urbano cuenta con unos 90.000 habitantes (incluye las ciudades de Villa María y Villa Nueva) y con una zona de influencia de aproximadamente 300.000 habitantes, distribuidos en localidades en un radio de 60 km. La ciudad constituye un verdadero nodo en el campo de las comunicaciones, ya que pasan por ella las principales rutas del país. De las veintidós carreras que imparte, nueve de ellas se dictan íntegramente en la Universidad y las otras trece son carreras que están articuladas con instituciones de Nivel Superior ? no universitario ? de Villa María. Una de las características del diseño curricular de la Universidad es que cuenta con un Ciclo Básico Universitario cuyo objetivo es la formación personal e integral del futuro profesional, con una duración aproximada de dos años. Este ciclo es común a todas las carreras que dicta la UNVM y se extiende a su término un certificado que no tiene alcances o incumbencias profesionales. Entre las nueve carreras consideradas ?propias? de la Universidad, cuatro de ellas tienen a la Matemática en su diseño curricular: Contador Público, Licenciatura en Economía, Licenciatura en Administración y Profesorado en Matemática. Las tres primeras conforman en la UNVM un bloque denominado ?Carreras de Ciencias Económicas?. Nuestro interés estuvo centrado desde un principio en las carreras de Ciencias Económicas por varias razones, donde las dos más relevantes son las que enumeramos a continuación: Entre trescientos y cuatrocientos alumnos escogen año a año estas carreras, en la Universidad Nacional de Villa María, por lo que resultan las únicas dentro de la institución con características de ?cursado masivo?, lo cual es común en la mayoría de nuestras universidades nacionales. El interés de los estudiantes de las carreras de Ciencias Económicas generalmente no está centrado en la Matemática, ni han elegido estas carreras por afinidad o predisposición hacia la misma, por lo cual encontramos alumnos que pueden sentirse cómodos y a gusto con esta ciencia, y otros que pueden sentir rechazo y resquemores. Estos motivos se convierten en los fundamentos para que la investigación se circunscriba entonces al reconocimiento y análisis de los errores en las producciones escritas de Matemática, en los alumnos que egresaron del Nivel Medio de la enseñanza e ingresan en las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María. Importancia del estudio La intención de esta investigación se encuentra no sólo en el análisis de los patrones de error que cometen los alumnos, los que pueden revelar errores sistemáticos que sean síntomas de concepciones inadecuadas, sino también en determinar qué conviene que aprendan los profesores en formación en relación con los errores que cometen los alumnos, puesto que se podrían proporcionar claves sobre qué estrategias pueden resultar las más convenientes a la hora de llevar adelante los procesos de enseñanza y aprendizaje en Matemática. Al respecto, cabe aclarar que la Universidad Nacional de Villa María cuenta con la carrera de Profesorado en Matemática, y se podría estar dando a los profesores en formación un conocimiento general de los esquemas teóricos de interpretación y desarrollo curricular derivado del diagnóstico, tratamiento y superación de los errores en el aprendizaje de esta ciencia. Asimismo, debe tenerse en cuenta que los profesores en formación cometen errores en la realización de tareas matemáticas, muchos de ellos similares o debidos a las mismas causas que los que cometen los alumnos; y poner de manifiesto las concepciones deficientes y los errores cometidos resultaría una tarea formativa ineludible para ellos, en tanto obligaría a una reestructuración positiva de los esquemas previos. Del mismo modo, consideramos que el análisis de los errores cometidos por los alumnos aspirantes a ingresar a la Universidad, y la posterior discusión y análisis con profesores en formación, pondrían de manifiesto las propias concepciones que se tienen con respecto al conocimiento matemático y la naturaleza de su aprendizaje. Esta comprensión sobre las propias creencias permitiría asumir críticamente los planteamientos profesionales de cada profesor en formación, observando las incoherencias y aspectos olvidados y promoviendo una concepción más completa de las tareas docentes, al mismo tiempo que induciría a que ayuden a sus alumnos a superar el sentimiento negativo que tienen hacia los errores. Finalmente, también pensamos que los errores pueden emplearse como instrumento de motivación y como punto de partida para exploraciones matemáticas creativas de los alumnos, lo que implicaría que se desarrollen actividades valiosas de planteamiento y resolución de problemas. Además, pueden proporcionar una comprensión más completa y profunda del contenido matemático y de la propia naturaleza de la Matemática, ayudándonos a investigar cuestiones relativas a la enseñanza y aprendizaje de la misma, a las que generalmente resulta difícil acercarse por otra vía. Objetivos de la investigación Asumimos que los errores de los estudiantes no son casuales ya que están basados en conocimientos y experiencias previas, y pueden tener diferentes causas que los motivan. Así, pueden asociarse a dificultades didácticas, epistemológicas, cognitivas o de actitudes. Bajo estas consideraciones, se convierte en objetivo general de la investigación: Analizar las dificultades y errores de conceptos y procesos matemáticos en las producciones escritas de los alumnos, durante su formación de Nivel Medio, al ingresar a la Universidad. Previo a la presentación de los objetivos específicos que persigue nuestra investigación, creemos conveniente, sin la intención de ser redundantes, rescatar las preguntas que dirigen y orientan nuestro trabajo y que mencionáramos anteriormente. Así, en nuestra búsqueda por reconocer, analizar y categorizar los errores cometidos por los alumnos egresados del Nivel Medio, al resolver problemas y/o ejercicios correspondientes a contenidos matemáticos abordados en el Ciclo Básico Unificado (CBU) y en el Ciclo de Especialización (CE) del Nivel Medio de enseñanza argentino, surgían como interrogantes: ¿Qué errores detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de sus alumnos durante la formación de Nivel Medio? ¿Cuáles son los errores, que han sido señalados por los Profesores de Matemática, que aún persisten en el aprendizaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Universidad? ¿Cuáles son las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos ciertos errores en el aprendizaje logrado en Matemática? Responder estas preguntas, en el contexto particular en el que delimitábamos la investigación; esto es, en alumnos que aspiran a ingresar en las carreras de ciencias económicas de la Universidad Nacional de Villa María, conduce al logro de los siguientes objetivos específicos: 1) Determinar los errores que aducen los Profesores de Matemática que son cometidos por los alumnos en el aprendizaje de esta ciencia durante su formación en el Nivel Medio de enseñanza. 2) Especificar las dificultades y errores que aún persisten en los alumnos que egresan del Nivel Medio e ingresan a la Universidad en carreras que tienen a la Matemática en su diseño curricular. 3) Categorizar los errores cometidos por los alumnos en el aprendizaje de la Matemática al ingresar al Nivel Universitario. 4) Analizar las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos los errores en el aprendizaje logrado en Matemática, a la luz de las investigaciones y publicaciones actuales relacionadas con el tema. Para terminar esta itroducción, presentamos brevemente el contenido de los 6 capítulos que constituyen el trabajo. En el Capítulo 1 describimos algunas problemáticas circunscriptas en torno a nuestro objeto de estudio y el estado actual de las investigaciones sobre errores. En el Capítulo 2, dedicado a la Metodología de la Investigación, realizamos una descripción de la estructura general del contexto en el que se desarrolló el trabajo, los procedimientos de investigación que se emplearon, las dimensiones de análisis escogidas y el modo en que llevamos a cabo el análisis de los errores que cometen los alumnos. En el Capítulo 3 presentamos y efectuamos un primer análisis de los resultados obtenidos en la evaluación administrada a los alumnos egresados del Nivel Medio, y que ingresan a las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María, centrándonos en los errores más frecuentes que fueron hallados, a la luz de las categorías de errores construidas para tal fin. En el Capítulo 4 discutimos y analizamos con mayor profundidad los resultados que presentamos en el Capítulo 3, exponiendo algunas de las causas de los errores que cometen los alumnos al resolver situaciones matemáticas, apoyados en las investigaciones consultadas sobre esta problemática. En el Capítulo 5 presentamos las conclusiones de la investigación donde sintetizamos los resultados obtenidos, señalamos las aportaciones, alcances y limitaciones que tuvo el trabajo, esbozamos algunas cuestiones que quedaron abiertas y darían lugar a una continuación de la investigación. Finalmente, en el Capítulo 6 cerramos con sugerencias generales tendientes a producir una mejora en el tratamiento que podrían hacer de los errores los docentes de Matemática.